03. 기초 필수 수학 - Matrix

Matrix(행렬)

Row(행)과 Column(열)로 이루어진 실수들의 사각 배열.

Row와 Column의 갯수에 따라 m×n Matrix라고 부른다.

이 때, m×n은 Matrix의 Dimension(차원)이라 부른다.

 

Square Matrix(정방 행렬)

Row와 Column의 수가 같은 Matrix.

Inverse Matrix(역행렬)이 존재한다.

 

Entry(성분)

Matrix를 구성하는 각각의 수들을 지칭. Element(원소)라고도 한다.

Matrix의 Entry를 지칭 할 때는 Matrix 이름에 아래첨자로 Column과 Row의 번호를 지정한다.

 

Row Vector(행 백터)
Matrix의 Column이 하나인 Matrix.

Vector라 부르는 이유는 이런 Matrix는 주로 Vector를 표현할 때 사용되기 때문이다.

반대로 Row가 하나인 Matrix는 Column Vector(열 벡터)라고 부른다.

이러한 Row/Column Vector를 지칭할 때는 아래첨자 하나만 사용한다.

 

간혹 Matrix의 Column이나 Row를 Vector로 간주하는 경우가 있다.

Matrix A를 Row Vector들로 표현한 것

이 때 각 Row Vector나 Column Vector를 지칭 할 때는 Column 번호나 Row 번호를 지칭 할 수 없다.

때문에 이 때는 '*'를 적어준다.

 

Matrix의 연산

기본적으로 Matrix간의 연산은 두 Matrix의 Column과 Row 수가 동일해야 한다.

Matrix간의 연산(=, +, -)는 같은 Element끼리 연산하기 때문이다.

Matrix와 Scalar간의 연산은 모든 Element에 동일하게 적용된다.

 

Matrix에 적용되는 연산법칙

• 덧셈의 교환법칙
• 덧셈의 결합법칙
• Matrix에 대한 스칼라 값의 분배법칙
• 스칼라들에 대한 Matrix의 분배법칙

 

Matrix간의 곱셈

두 Matrix A(m × n)와 B(n × p)가 있을 때, 이 두 Matrix의 곱은 AB로 정의된다.

Matrix AB를 C라고 정의 했을 때, C는 m × p Matrix이고,

이의 ij번째 성분은 Matrix A의 i번째 Row Vector와 B의 j번째 Column Vector의 Inner Production을 한 결과이다.

따라서 Matrix들 간에 곱 연산이 성립하기 위해서는 Matrix A의 Row 수와 Matrix B의 Column 수가 일치해야 한다.

다른 말로, A의 Row Vector의 Dimension과 B의 Column Vector의 Dimension이 일치해야 한다.

이 둘이 일치하지 않으면 두 Vector간의 Inner Production이 성립하지 않는다.

 

다음 Vector와 Matrix의 곱 연산을 보자.

uA가 1 × 3 Row Vector로 평가됨을 주목하며 다음 연산을 보자.

따라서

이 관계가 성립한다.

이는 Linear Combination(선형 결합)의 한 예로,

Vector·Matrix 연산인 uA가 Matrix A의 Row들의 Linear Combination에

Vector u에서 비롯된 Scalar x, y, z가 적용된 것임을 말해준다.

이는 어떤 1 × n Row Vector u와 n × m Matrix A 에해 항상 성립한다.

이 외에 Matrix간의 곱셈에서는 배분법칙과 결합법칙이 만족한다.

때문에 Matrix 곱 연산을 할 때에는 순서를 적절히 선택할 수 있다.

Transpose(전치)

Transpose Matrix는 주어진 Matrix의 행과 열을 맞바꾼 것을 말한다.

Transpose Matrix는 Matrix 이름에 윗첨자로 T를 붙인다.

Identity Matrix(단위행렬)

Main Diagonal Element(좌상에서 우하로의 주된 대각선에 있는 성분)이 모두 1이고,

나머지 Element들은 0인 Square Matrix.

Identity Matrix는 그 이름에서 알 수 있듯이 Matrix간의 곱셈에서 Identy Element(항등원) 역할을 한다.

때문에 Square Matrix와 Identy Matrix간의 곱셈은 교환법칙이 성립한다.

 

Determinant(행렬식)

Square Matrix를 받아서 실수 값을 산출하는 특별한 함수.

Square Matrix A의 determinant는 det A로 표기한다.

 

기하학적으로 2-Dimension Matrix의 Determinant는 넓이를, 3 Dimension Matrix의 Determinant는 부피를 나타낸다.

이를 이용해 Linear Transform 연산 하에 부피가 변하는 방식에 대한 정보를 제공함을 증명하는 것이 가능하다.

이에 대해서는 자세히 작성 된 링크로 대체한다.

https://twlab.tistory.com/44

[Linear Algebra] Lecture 20-(2) 행렬식(Determinant)의 기하학적 해석(Geometrical Analysis)

또한 Determinant는 Cramer's rule(크라메의 법칙)을 이용해 1차 연립방정식을 푸는 데에도 사용된다.

Cramer's rule와 이를 이용한 1차 연립방정식을 푸는 방법 또한 링크로 대체한다.

https://twlab.tistory.com/43?category=668741

[Linear Algebra] Lecture 20-(1) 행렬식(Determinant)과 역행렬(Inverse Matrix), 그리고 크래머 공식(Cramer's Rule)

http://www.mesacc.edu/~scotz47781/mat150/notes/cramers_rule/Cramers_Rule_3_by_3_Notes.pdf

하지만 우리가 지금 Determinant를 보는 이유는 Inver Matrix를 구할 때 쓰이기 때문이다.

 

Determinant를 이용하면 다음 명제를 증명하는 것도 가능하다.

Square MAtrix A는 오직 detA ≠ 0일 때에만 Invertible 하다.

이 명제를 이용하면 주어진 Matrix가 Invertible 한지 쉽게 알 수 있다.

 

Matrix Minor(부분행렬, 소행렬)

Determinant를 설명하기 위해서는 Matrix Minor가 요구되므로 짚고 넘어가겠다.

n × n Matrix A가 주어졌을 때, 특정 번호의 Row와 Column을 삭제한 (n - 1) × (n - 1) Matrix를 말한다.

Determinant의 Definition

Determinant는 재귀적으로 정의된다.

예를 들어 4 × 4 Matrix의 Determinant는 3 × 3 Matrix의 Determinant를 항으로 하여 정의된다.

3 × 3 Matrix의 Determinant는 2 × 2 Matrix의 Determinant로,

2 × 2 Matrix의 Determinant는 1 × 1 Matrix의 Determinant로 정의된다.

(1 × 1 Matrix의 Determinant는 그 Element의 값과 동일하다.)

n × n Matrix의 Determinant는 다음과 같이 정의된다.

Adjoint Matrix(딸림행렬, 수반행렬)

이를 설명하기 위해서는 몇가지 선행 정의가 필요하다.

n × n Matrix A에 대해, 각 Element들은 Cofactor(여인수)가 존재한다.

이 때 Matrix A의 각 Element들을 Cofactor로 대체 해서 만든 Matrix를 A의 Cofactor Matrix(여인수행렬)이라 부른다.

Adjoint Matrix는 이 Cofactor Matrix의 Tranpose Matrix이다.

뒤에 나오지만, Adjoint Matrix를 이용하면 Inverse Matrix를 구하는 공식을 구할 수 있다.

 

Inverse Matrix(역행렬)

Matrix간에는 나눗셈 연산은 없지만, Inverse에 대한 정의는 존재한다.

1. 오직 Square Matrix만이 Inverse Matrix를 가진다.
   때문에 Inverse Matrix를 논의 할 때는 항상 Square Matrix라는 가정이 깔려 있다.
2. n × n Matrix M의 Inverse Matrix 역시 n × n 이며, Matrix 이름에 윗첨자로 -1을 적어서 표기한다.
3. 모든 Square Matrix에 Inverse Matrix가 존재하는 것은 아니다.
   Inverse Matrix가 존재하는 Matrix를 가르켜 Invertible Matrix(가역행렬)이라 부른다.
   반대로 Inverse Matrix가 존재하지 않으면 Singular Matrix(특이행렬)이라 부른다.
4. Inverse Matrix가 존재할 경우, 그 Inverse Matrix는 고유하다.
5. 어떤 Matrix M과 그의 Inverse Matrix를 곱하면 Identity Matrix가 나온다.
   이 연산은 교환법칙이 성립한다.

Inverse Matrix는 Matrix Equation을 풀 때 유용하다.

Inverse Matrix는 Adjoint Matrix와 Determinant로 구할 수 있다.

마지막으로 Matrix 곱 연산의 Inverse 에 대한 유용한 대수적 속성을 하나 소개하겠다.