수학) Quaternion(쿼터니언)에 대해 설명하시오

Q: Quaternion(쿼터니언)에 대해 설명하시오.

A: 사원수, 혹은 해밀턴 수라고도 부르며 복소수를 확장해 만든 수 체계이다.

덧셈에 대해서는 결합법칙, 교환법칙이 성립하지만, 곱셈에 대해서는 결합법칙만 성립하고 교환법칙은 성립하지 않는다.

쿼터니언은 하나의 실수와 3개의 서로 다른 복소수로 구성이 되며, 곱셈 연산 시 겹선형 연산을 한다.

예를 들어, a0 + a1i + a2j + a3k에 대해 곱의 결과는 다음과 같이 나타난다.

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	k	-1	-i
k	k	-j	-i	-1

단, 여기서 a0, a1, a2, a3는 모두 실수이다.

 

쿼터니언은 실수부와 허수부로 나눌 수 있는데,

이를 벡터에 적용하면 실수부를 스칼라 값으로, 허수부를 3차원 벡터로 간주한다.

 

마지막으로 위 예시에서 언급한 쿼터니언을 2×2 Complex matrix(복소행렬)로 나타내면 다음과 같다.

a + bi	c + di
-c + di	a - bi

 

Q: 물체의 회전을 연산 할 때 쿼터니언을 사용해야 하는 이유를 설명하시오

A: 오일러 각을 이용해 행렬 연산을 할 때 회전하는 축이 정지한 축과 겹쳐지는 상황이 발생하는데, 

이를 짐벌락이라 부른다.

짐벌락은 오일러 각을 연산 할 때 3개의 축을 기반으로 연산을 하기 때문인데,

이를 회피하기 위해 쿼터니언을 이용한다.

쿼터니언을 이용해서 문제가 해결되는 이유는

3개의 축의 연산이 서로 다른 복소수로 되어 있기 때문에 서로가 독립적으로 연산이 될 수 있다.

 

참고자료

ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B0%81

오일러 각 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%AC%EC%9B%90%EC%88%98

사원수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전